2024年度邵逸夫數學科學獎近日頒予彼得·薩納克（Peter Sarnak），以表彰他將數論、分析學、組合學、動力學、幾何學和譜理論結合起來，發展出薄群的算術理論和仿射篩法。

彼得·薩納克接受採訪時表示，自己對數學研究的主要動力是試圖理解某些數學領域內的真理，並不是被應用所激勵，而是因為對數學真理的探索。

彼得·薩納克指出，數論被稱為「數學女王」，雖然傳統上被認為沒有任何應用用途，但如今它在密碼學中發揮重要作用。他鼓勵年輕人深入學習數學，通過學習原始論文來探索這一領域的複雜性和美麗，同時亦要學會面對失敗。\大公報記者　唐雪婷

薩納克率先開展在薄群軌道生成的稀疏子集中尋找多項式殆素數值的研究。薄群是算術群的一個子群，具有恰到好處的性質：它既不太大（具有無窮指數），也不太小（與算術群具有相同的扎里斯基閉包）。薄群在純數學和應用數學中非常自然地出現。例如，整數阿波羅尼奧斯圓填充的對稱群就是一個薄群。此外，還有大量的克萊因群，或是更為普遍的微分方程的單值群，它們都是薄群。

擴展圖是一種高度連接的稀疏圖，廣泛應用於計算機科學領域。薩納克預見到一個薄群中的有限商群的擴展特性可用於產生殆素數，從而發展出仿射篩法。薩納克聯同布爾甘和甘布爾德從一些薄群中建構出擴展圖。

將動力學幾何學等融為一體

薩納克聯同布爾甘和甘布爾德，對於在薄群軌道上的整數向量取得了一個精確計數和均勻分布的結果，該結果指出，當將給定的多項式函數應用於這些向量時，它們就會取得殆素數值。在一些自然假設下，薩納克與戈爾塞菲迪一起證明了一個整數多項式函數於薄群軌道的扎里斯基稠密子集中會產生殆素數。

薩納克將組合和遍歷的理論方法引入到丟番圖方程（又稱不定方程）問題，產生了深遠的影響。他獨特而深邃的遠見開啟了廣泛的研究項目，將數論、組合學、分析學、動力學、幾何學和譜理論融為一體。

香港大學數學系教授羅家豪表示，在商業領域中，不定方程在採購決策中起着關鍵作用。企業在進行大規模採購時，常常面臨預算和存儲限制，而不定方程為解決這些複雜問題提供了有效的數學工具。通過滿足特定條件，企業能夠找到最佳的採購方案，從而提高運營效率。

薩納克表示，自己對數學研究的主要動力是試圖理解某些數學領域內的真理，並不是被應用所激勵，而是因為對數學真理的探索，這種對真理的追求是他工作的核心動力之一。

「從犯錯中培養出一種直覺」

他指出，數論在現代應用中有幾個具體例子，尤其是在密碼學和安全方面。他亦提到，數論被稱為「數學女王」，雖然傳統上被認為沒有任何應用用途，但如今它在密碼學中發揮着重要作用。

他亦鼓勵年輕人深入學習數學，特別是學習原始論文，以更好地理解這一領域的複雜性和美麗。另外，年輕人也要學會面對失敗，「你必須犯很多錯誤，培養出一種直覺。不可能是你一坐下來，你就是一個天才。」